Quanto lontano arriva una previsione

1 · Scegli quanto bene hai misurato la partenza

2 · Prima di far girare qualsiasi cosa, scommetti

3 · Fai tu la moltiplicazione, un passo alla volta

la tua previsione il gemello quasi identico ┊ la tua scommessa

Ogni punto è un passo. Non è una linea continua: fra un passo e l'altro non c'è nulla, la traiettoria è fatta solo di questi punti.

4 · Duemila passi: il tempo contro il clima

Abbandona i valori uno per uno e guarda la statistica: due traiettorie che non hanno più nulla in comune, punto per punto, danno la stessa fotografia complessiva.

Valore teorico: (2/π) × arcsin(√0,1) ≈ —. Due numeri praticamente identici, calcolati da due traiettorie che al passo duemila non condividono più una sola cifra.

5 · Le formule di questo laboratorio

x_nuovo = 4 × x × (1 − x)

x sta fra 0 e 1; 4 è il parametro della formula, tenuto fisso — ed è il suo valore
estremo, non una scelta neutra (vedi più sotto perché).

d_nuovo = 4 × d × (1 − x − y)

x e y sono i due numeri delle due previsioni a questo passo; d = y − x.
4 × (1 − x − y) è il fattore di ingrandimento di questo singolo passo: può
valere quasi 4 oppure quasi 0. Moltiplicando fra loro i fattori di tanti passi,
ciascuno vale in media 2 (è una media dei prodotti, non delle somme: la
media aritmetica del fattore è un altro numero, 2,55).

d_n ≈ d₀ × 2ⁿ

Il "circa" vuol dire "in media": passo per passo non è vero, e lo vedrai
succedere nella tua tabella qui sopra.

N = log₂(1 / d₀)

log₂ di un numero = quante volte devi raddoppiare 1 per arrivarci.
Se sbagli di un milionesimo: N = log₂(1 000 000) = 19,93, cioè circa venti passi.

x_n = sin²(2ⁿ × arcsin(√x₀))

Ogni passo raddoppia esattamente un angolo. Il 2 del raddoppio non è un modo
di dire: è scritto dentro la formula.

frazione di tempo passata sotto il valore x = (2/π) × arcsin(√x)

Per x = 0,1 dà 0,2048: la traiettoria passa il 20% del tempo nel decimo più
basso, e solo il 6,4% nel decimo centrale.

Il foglio piegato

Un foglio di carta è spesso un decimo di millimetro. Piegalo in due venti volte — cioè raddoppia venti volte, esattamente quello che fa lo scarto fra le due previsioni — e lo spessore diventa —: un palazzo di trenta piani. Piegalo 53 volte, i passi che regge un computer, e diventa —, sei volte la distanza fra la Terra e il Sole, oltre l'orbita di Giove.

E nel frattempo tu, per fare quei venti passi con la calcolatrice del telefono, ci hai messo tre minuti. Tutta la capacità di previsione che ti dà una misura precisa al millimetro su un chilometro si esaurisce in tre minuti di conti a mano.

La sorpresa

Dentro non c'è nessun caso: è una moltiplicazione che faresti con la calcolatrice del telefono, e se rifai i conti tornano identici a chiunque altro li rifaccia, oggi e fra cent'anni. Eppure due partenze che differiscono di un milionesimo, dopo venti passi, valgono — e —.

Ma la parte davvero controintuitiva è un'altra, ed è quantitativa: misurare meglio serve quasi a niente. Passare da "un millimetro su un chilometro" a "un atomo sulla lunghezza del tuo braccio" significa misurare 6000 volte meglio — una precisione che nessun laboratorio al mondo raggiungerebbe su un fenomeno reale — e ti compra — passi in più. Ogni volta che dimezzi l'errore guadagni esattamente un passo. Uno solo.

Lo stesso vale per il computer, in modo ancora più netto: si ferma al passo 53 non perché sia lento, ma perché i suoi numeri hanno 53 cifre binarie. Partendo da 0,2, un calcolo in doppia precisione e un calcolo di riferimento molto più preciso restano d'accordo fino verso il cinquantesimo passo, poi si staccano: al passo 53 valgono — e —. Uno un miliardo di volte più veloce si ferma allo stesso identico passo. L'orizzonte della previsione non cresce con la fatica che ci metti: cresce con il logaritmo della fatica, ed è una crescita così lenta che a un certo punto conviene smettere di spingere.

Lo stesso ragionamento spiega perché le previsioni del tempo si fermano a circa due settimane. Con un errore iniziale pari all'1% della variabilità tipica e un tempo di raddoppio dell'errore assunto costante e pari a due giorni: log₂(100) = 6,64 raddoppi, per — giorni, coerente col limite pratico attuale di circa dieci giorni. È una stima d'ordine di grandezza, fragile come cifra: con un giorno e mezzo di raddoppio si ottengono dieci giorni, con due giorni e mezzo si arriva a diciassette.