La velocità della luce, con un righello

1Che cosa metti dentro

È l'unico esperimento della serie in cui il numero di ingresso non lo dà un cursore: lo dà un righello, in cucina.

quattro cose vere — scegli

Il gesto, nell'ordine

Togli il piatto rotante. Il piatto gira apposta per cancellare quello che vogliamo vedere.
Metti dentro quello che hai scelto, appoggiato piatto, e fai partire il forno per il tempo indicato qui sopra.
Ferma il forno alle prime chiazze, non quando è tutto sciolto. Le prime chiazze sono i ventri dell'onda: se aspetti si allargano, si toccano, e la misura è persa.
Appoggia il righello e misura in centimetri la distanza fra i centri di due chiazze vicine.
Leggi la frequenza sulla targhetta del forno — sul retro, o sul bordo interno dello sportello. Su quasi tutti c'è scritto 2450 MHz.

Prima di accendere: ferma alle prime chiazze, il piatto scotta, niente metallo dentro.

2I tuoi due numeri

Uno lo misuri, uno lo leggi. Non ce ne sono altri.

Distanza fra due chiazze vicine dai centri, non dai bordi

Frequenza del forno leggila sulla targhetta

MHz

valori di esempio, non misure vere

Tre righelli distanti due millimetri l'uno dall'altro. Servono a farti vedere quanto pesano due millimetri.

3Che cosa esce

velocità ricavata dai tuoi due numeri

scarto dal valore ufficiale

−10%0+10%

la forbice onesta di questo esperimento: ±4%

4Che cosa succede dentro

La cavità vista dall'alto. L'onda non cammina: sta ferma e respira. I punti in cui non si muove mai sono i nodi, quelli in cui oscilla di più sono i ventri — ed è lì che il cioccolato fonde.

5Rifai il conto a mano

Con i tuoi numeri, riga per riga. È il pezzo che rende questo un esperimento e non un giocattolo.

le formule, in chiaro

λ = 2 × d. La distanza d fra due chiazze vicine è mezza onda, quindi l'onda intera è il doppio. Attenzione alle unità: i centimetri vanno divisi per 100 per avere metri.

c = λ × f. Vale per qualunque onda, dal mare al suono alla luce: la velocità è la lunghezza di un'onda per quante ne passano in un secondo. f in hertz: 2450 MHz sono 2.450.000.000 Hz.

c = 2 × d × f. Le due formule messe insieme. Questo è tutto l'esperimento: un numero misurato, un numero letto, una moltiplicazione.

Controllo delle unità: metri × (1/secondi) = metri al secondo. Se quello che ti esce non ha le unità di una velocità, hai sbagliato il conto. Fallo sempre.

Riportalo al corpo

L'onda che scioglie il cioccolato è lunga 12,2 centimetri. Apri la mano: è la distanza fra la punta del pollice e la punta del mignolo di una mano adulta. Le chiazze stanno a metà di quella distanza, 6,1 centimetri, la larghezza di tre dita affiancate. Non è una scala microscopica: sta nel palmo.

E il numero che ne esce, 2,99×10⁸ metri al secondo, riportalo al petto. Il tuo cuore batte una volta ogni 0,857 secondi, e fra un battito e il successivo la luce percorre 256.965 chilometri: 6,4 volte il giro della Terra, ovvero i due terzi della strada per la Luna. Quel numero è appena uscito da tre dita di cioccolato fuso.

fra due battiti	0,857 s	60 secondi diviso 70 battiti
strada della luce	256.965 km	c × 0,857 s
giri della Terra	6,41	circonferenza equatoriale 40.075 km
strada per la Luna	67%	distanza media 384.400 km

La sorpresa

Riguarda quello che hai fatto: in tutto l'esperimento non hai mai misurato un tempo. Non c'è un cronometro, non c'è un orologio, non c'è niente che scatti. Hai un righello e basta. Eppure il risultato è una velocità, metri al secondo. I secondi entrano da un numero stampato su una targhetta — e quel numero, a sua volta, è fissato soprattutto da una lunghezza: la dimensione delle cavità scavate nel blocco di rame del magnetron, che è quello che decide a che ritmo oscilla. Hai misurato una velocità con due lunghezze.

Seconda parte, ed è quella che conta. Nel forno non è entrata nessuna luce. L'onda che ha sciolto il cioccolato è lunga 12,24 cm contro i 550 nanometri della luce verde: è 222.480 volte più lunga, e ogni suo fotone porta 222.480 volte meno energia. È così diversa dalla luce che l'occhio non la registra affatto. Corre esattamente alla stessa velocità.

Questo è precisamente il passaggio che fece Maxwell. Prese due costanti misurate con condensatori, fili e magneti — senza mai accendere una candela — e ne ricavò 3,1074×10⁸ m/s. Fizeau aveva misurato la velocità della luce con una ruota dentata e uno specchio lontano: 3,14858×10⁸. Distavano l'1,31%. Maxwell non concluse che la luce somiglia a un'onda elettromagnetica: concluse che la luce è un'onda elettromagnetica, la stessa cosa che scioglie il tuo cioccolato con l'onda accorciata di un fattore duecentomila. Ventidue anni dopo Hertz costruì in laboratorio onde lunghe qualche metro e mostrò che si riflettono, si rifrangono e si polarizzano come la luce. La previsione era arrivata prima dell'oggetto.

Che cosa questo modello non dice

Sette punti. Non sono note a piè di pagina: sono parte dell'esperimento.

1.Che cosa stai misurando davvero. Dal 1983 il metro è definito come la distanza che la luce percorre nel vuoto in 1/299.792.458 di secondo: quel numero non è più il risultato di una misura, è fissato per definizione. Fino al 1983 un conto come questo serviva a stabilire quanto vale c. Oggi c è fissato, e quel numero non lo stai più determinando: stai facendo due cose insieme. Stai controllando la tua catena di misura — righello, chiazza, frequenza vera del tuo magnetron — e stai verificando un fatto fisico che nessuna definizione ti regala, cioè che un'onda lunga dodici centimetri, che l'occhio non vede, corra alla stessa velocità della luce visibile. Se ti esce il 3 per cento di scarto, hai scoperto che qualcosa nella tua catena sbaglia del 3 per cento, non che la luce va più piano. Quello che è cambiato dal 1983 non è la fisica: è che oggi, in questa catena, l'anello conosciuto peggio non è la velocità della luce. Sei tu col righello.

2.La frequenza sulla targhetta è nominale, non misurata sul tuo forno. I forni domestici lavorano nella banda 2400-2500 MHz e la targhetta dichiara 2450 MHz per convenzione. Il magnetron si sposta con la temperatura e con quanto cibo c'è dentro. Se la frequenza vera fosse 2400, la mezza onda sarebbe 6,25 cm invece di 6,12: c'è già lì un paio di punti percentuali che non controlli.

3.Il righello, e come si legge un risultato. Due millimetri su 6,1 cm sono il 3,3%, e alle chiazze si somma il fatto che hanno bordi sfumati e che il centro lo decidi a occhio. La forbice onesta di questo esperimento è di qualche punto percentuale. Se ti esce lo 0,3 per cento, non concluderne di aver misurato meglio di quanto il tuo righello permetta: con quel righello un singolo risultato molto vicino al valore vero ci sta comodamente dentro per caso. Rifai la misura tre volte e guarda quanto ballano i tre valori: quella dispersione è la tua vera incertezza, non lo scarto della singola misura andata bene. Un buon esperimento non è quello che azzecca il numero una volta: è quello che sa dire di quanto può sbagliare.

4.«La distanza fra due chiazze è mezza lunghezza d'onda» è un'approssimazione di onda piana, e dentro un forno l'onda piana non c'è. C'è una scatola di metallo, e in una scatola i campi possibili sono modi con nodi imposti dalle pareti. In una cavità rettangolare perfetta e vuota, lungo un lato da 30 cm, il campo va come sin(mπx/a) e i ventri distano a/m, con m intero: la condizione (m/a)² + (n/b)² + (p/d)² = (2/λ₀)² impone m ≤ 4,90, cioè m ≤ 4, e il passo dei ventri non può scendere sotto 7,5 cm — il 22,6% in più di mezza onda libera, che darebbe c = 3,675×10⁸ m/s. Il tuo forno però non è vuoto né perfetto: il cibo assorbe e smorza le risonanze, i modi eccitati sono molti e si sovrappongono, e nella sovrapposizione la periodicità che sopravvive è vicina a mezza onda libera. Detto senza girarci intorno: funziona meglio di quanto la derivazione a una riga meriterebbe. Una formula che restituisce il numero giusto non è la prova che il ragionamento dietro sia completo.

5.Due miti da non ripetere. 2,45 GHz non è «la frequenza di risonanza dell'acqua». Le molecole d'acqua sono piccole calamite elettriche e cercano di girarsi per seguire il campo che oscilla; ci mettono un certo tempo a farlo, e per questo assorbono un po' a tutte le frequenze invece che a una sola. Il massimo di questo assorbimento — il fenomeno si chiama rilassamento dielettrico — a temperatura ambiente cade intorno ai 19 GHz: quasi otto volte più in alto dei 2,45 GHz del forno. Non c'è nessuna nota di risonanza da colpire, c'è un intervallo largo, e la frequenza è stata scelta per motivi regolamentari e pratici, perché a 2,45 GHz le microonde entrano per qualche centimetro invece di scaldare solo la superficie.

Secondo mito, l'etere. Maxwell ricavò le sue onde come vibrazioni di un mezzo meccanico che riempirebbe tutto lo spazio. Quel mezzo non esiste: Michelson e Morley nel 1887 non lo trovarono, la relatività ristretta nel 1905 lo tolse di mezzo. Le equazioni di Maxwell sono sopravvissute intatte; l'immagine mentale con cui erano state costruite no. Si può avere ragione sui conti e torto sul quadro.

6.Anche Hertz sbagliò i numeri. Nel 1888 misurò le onde elettromagnetiche in aria, e i valori che ne ricavò erano dello stesso ordine della velocità della luce ma con incertezze grandi e con errori di parecchi punti percentuali; trovò inoltre che le onde lungo i fili sembravano andare più piano di quelle in aria, cosa che le equazioni di Maxwell non prevedevano e che fu chiarita solo dopo. La sua conferma è famosa per quello che dimostrò — che le onde esistono, si producono, si riflettono, si polarizzano — non per la precisione della cifra.

7.E cosa resta aperto oggi. «Perché c vale proprio così tanto» non è più nemmeno una domanda ben posta, perché nel Sistema Internazionale attuale c è una definizione: cambiando unità cambi il numero, non la natura. La domanda seria si sposta sulle costanti senza unità di misura, quelle che restano le stesse qualunque righello usi. La più importante per l'elettromagnetismo è la costante di struttura fine, che vale circa 1/137,036 e dice quanto è forte l'interazione elettromagnetica. Nessuna teoria la deriva: non sappiamo perché valga quello e non altro. E non sappiamo con certezza se sia sempre stata la stessa: confronti fra orologi atomici pongono limiti dell'ordine di 10⁻¹⁸ all'anno su una sua eventuale variazione. Finora non è stato visto nulla — ma un limite che non vede niente non è una dimostrazione che sia esattamente costante.

Maxwell, 1865 +

Due misure che con la luce non c'entrano niente. Da una parte due lastre di metallo e una batteria: quanta carica ci sta sopra. Dall'altra due fili percorsi da corrente e una bilancia: quanto si attirano.

ε₀ · condensatore

μ₀ · due fili e una bilancia

la formula di Maxwell

Oggi questo non è una sorpresa, e va detto perché: nel Sistema Internazionale ε₀ è definita come 1/(μ₀c²), quindi le due costanti e c sono legate per costruzione. La sorpresa era nel 1862, quando le tre cose erano misurate in modo indipendente.

3,1074×10⁸

m/s · Maxwell 1862

dal rapporto delle unità elettriche misurato da Weber e Kohlrausch nel 1856. Nessuna luce coinvolta. Rispetto al valore di oggi sbaglia del +3,65%.

3,14858×10⁸

m/s · Fizeau 1849

ruota dentata e specchio lontano, misura puramente ottica. Rispetto al valore di oggi sbaglia del +5,03%.

Distano l'1,31%. Il punto non è che fossero precisi, non lo erano: è che due strade senza niente in comune — elettricità da una parte, ottica dall'altra — arrivano allo stesso numero entro l'1,3%.

Quanto è diversa dalla luce +

Scala logaritmica: ogni passo verso destra è un fattore dieci. A sinistra l'onda che vedi, a destra quella che ti ha sciolto il cioccolato.

1 nm1 µm1 mm1 m

Il rapporto fra le energie dei due fotoni è lo stesso rapporto fra le lunghezze, perché l'energia di un fotone è E = h × f e f è inversamente proporzionale alla lunghezza d'onda. h = 6,62607015×10⁻³⁴ J·s.

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