1La strada, vista dall'alto
Tu sei la figura ferma sul marciapiede. L'ambulanza tiene una nota sola, 800 hertz.
La curva di ogni passaggio resta disegnata. Cambia distanza, ripassa, e confronta: la picchiata a 2 metri e quella a 20 metri arrivano allo stesso punto, ma con due pendenze diverse.
2I comandi
Metti il dito sull'ambulanza e spostala avanti e indietro sulla corsia. Verso di te il suono si alza, via da te si abbassa, fermo il dito la nota torna dov'era. Da tastiera: frecce sinistra e destra.
Il volume che cresce e cala è acceso: è il «nìii-nòoo» che hai in testa. Spegnilo e resta solo il cambio di nota.
RallentatoreNel rallentatore l'audio si spegne di proposito: rallentando il tempo si abbasserebbe anche la frequenza, e sentiresti una cosa che col Doppler non c'entra niente. A velocità normale, invece, i cerchi si spengono: viaggiano a 343 metri al secondo e attraversano lo schermo in un terzo di secondo.
Il volume parte a un terzo. Con le cuffie, abbassa prima di accendere. Tutto l'esperimento si capisce anche a suono spento: i numeri e i cerchi bastano.
Cambia quanto è veloce il suono in questo mondo immaginario e guarda i cerchi accalcarsi davanti al veicolo. Quando la velocità del suono scende fino a quella dell'ambulanza, il denominatore c − v si azzera e il numero diventa un trattino.
Temperatura dell'aria (Formula 5)I cerchi che vedi sono molto più radi dei fronti veri: la sirena ne emette 800 al secondo, qui ne disegniamo uno ogni 0,12 secondi. Il disegno resta comunque esatto, perché il rapporto fra la spaziatura davanti e quella dietro vale (c − v)/(c + v) e non dipende da quanti cerchi disegni.
Lo schiacciamento a 100 km/h è del 15%: si vede appena, ed è giusto così. Nei libri lo disegnano molto più marcato di com'è. Se lo vuoi vedere davvero grande, usa l'atto 3 e rallenta il suono: lì l'esagerazione è dichiarata.
Mentre trascini col dito, la frequenza è calcolata con la versione istantanea della formula. Nel sorpasso automatico, invece, il conto tiene conto del tempo che il suono impiega ad arrivare fino a te: è per questo che nell'istante esatto del sorpasso senti ancora 805,3 Hz e non 800.
3Le formule, per rifare i conti a mano
Ti serve solo una calcolatrice. Nessun passaggio è nascosto.
Formula 1 — la sirena si muove, tu sei fermo+
in avvicinamento f = f0 x c / (c - v) in allontanamento f = f0 x c / (c + v)
f0 è la nota vera che la sirena emette, in hertz. Un hertz è un'oscillazione al secondo: qui f0 = 800 Hz. c è la velocità del suono nell'aria, 343 m/s a 20 gradi. v è la velocità dell'ambulanza in metri al secondo; da km/h a m/s si divide per 3,6.
Guarda dov'è finita la v: al denominatore. È tutta qui la storia di questo esperimento.
Col caso di partenza (800 Hz, 343 m/s, 100 km/h = 27,778 m/s):
c - v = 315,222 343 / 315,222 = 1,08812 x800 = 870,50 Hz c + v = 370,778 343 / 370,778 = 0,92508 x800 = 740,07 Hz
Formula 2 — il salto del sorpasso, in un colpo solo+
salto = f0 x 2cv / (c^2 - v^2)
È la differenza fra le due formule di sopra, scritta in un pezzo solo:
c/(c-v) - c/(c+v) = c[(c+v) - (c-v)] / [(c-v)(c+v)] = 2cv / (c^2 - v^2)
Controprova coi numeri di partenza:
2 x 343 x 27,778 = 19.055,6 c^2 - v^2 = 117.649 - 771,6 = 116.877,4 19.055,6 / 116.877,4 = 0,163039 0,163039 x 800 = 130,43 Hz
Ed è proprio 870,50 − 740,07.
Formula 3 — da hertz a semitoni+
semitoni = 12 x log2(f2 / f1)
log2(x) è il logaritmo in base 2: sulla calcolatrice del telefono, log(x) diviso log(2). Un semitono è un tasto del pianoforte, contando anche i neri. Dodici semitoni fanno un'ottava.
870,50 / 740,07 = 1,17624 log2(1,17624) = 0,234172 0,234172 x 12 = 2,810 semitoni
Per il salto del sorpasso si può scrivere tutto in una riga:
semitoni = 12 x log2[(c + v) / (c - v)]
f0 è sparita. La sirena può suonare qualunque nota: lo spostamento in semitoni è sempre lo stesso. È per questo che nel 1845, al posto degli strumenti di misura, bastavano dei musicisti.
Formula 4 — ti muovi tu, la sorgente è ferma+
ti avvicini f = f0 x (c + u) / c ti allontani f = f0 x (c - u) / c
Qui la velocità sta al numeratore. Non è la stessa formula di prima. Stessa velocità, stessa aria, stessa nota, risultato diverso:
sirena in moto 870,50 Hz tu in moto 864,79 Hz differenza 5,71 Hz
Cinque hertz e mezzo, un nono di semitono. Non è un arrotondamento: nel primo caso l'onda nell'aria è davvero più corta, nel secondo resta lunga 42,9 cm e sei tu che ne incontri di più al secondo. L'aria fa da arbitro e sa benissimo chi si sta muovendo rispetto a lei.
Formula 5 — la velocità del suono dipende dalla temperatura+
c = 331,3 x radice(1 + T/273,15) m/s
T in gradi Celsius, aria secca. 273,15 è lo zero assoluto in gradi Celsius, cambiato di segno.
0 gradi -> 331,3 m/s 20 gradi -> 343,2 m/s 35 gradi -> 351,9 m/s
Vale a qualunque quota, purché l'aria sia a quella temperatura: la pressione non entra.
Assunzione dichiarata. Come riferimento questo esperimento usa il valore tondo da manuale, c = 343 m/s a 20 gradi; la formula qui sopra, a 20 gradi, dà 343,2. Sul salto la differenza è meno di un decimo di hertz: 130,43 contro 130,35. Il numero tondo serve solo a farti rifare i conti a mano senza impazzire.
Formula 6 — perché tutto succede nell'attimo del sorpasso+
Conta solo la parte della velocità puntata verso di te:
v_verso_te = v x x / radice(x^2 + d^2)
x è di quanti metri l'ambulanza è indietro (negativo) o avanti (positivo) rispetto a te; d è quanti metri sei lontano dalla corsia. Poi si mette v_verso_te al posto di v:
f = f0 x c / (c + v_verso_te)
Quando ti è di fianco, x = 0, quindi v_verso_te = 0: in quell'istante non si avvicina né si allontana. La picchiata dura all'incirca 2d/v secondi: a 5 metri dalla corsia e a 100 km/h, il 70% del salto ti passa addosso in 0,36 secondi.
Formula 7 — dove il modello si rompe da solo+
numero di Mach: M = v / c
Se v = c il denominatore (c − v) diventa zero e la formula dà infinito. In natura non esistono note infinitamente acute: è il modello che ti sta dicendo, da solo, che oltre quel punto non vale più.
In aria a 20 gradi il punto è 343 m/s, cioè 1235 km/h. Oltre, il fronte d'onda diventa un cono, con semiapertura data da
sin(theta) = c/v = 1/M
Nell'atto 3 non è l'ambulanza ad accelerare: è il suono che rallenta. Quello che conta è il rapporto v/c, e ci si arriva da tutte e due le parti.
4I casi, coi conti già fatti
Questa tabella la calcola la pagina, con la velocità del suono che hai scelto tu. Il caso in evidenza è quello selezionato adesso.
| Che cosa passa | km/h | m/s | in avvicinamento | in allontanamento | salto | semitoni |
|---|
| hertz | scarto in Hz | scarto in semitoni |
|---|
I due pezzi sommati fanno il salto totale. Il rapporto fra loro è 1,176: lo stesso numero del rapporto fra le due frequenze.
| Domanda | Risposta |
|---|
Buys Ballot, giugno 1845: il conto regge ancora+
Sulla ferrovia fra Utrecht e Maarssen, Buys Ballot mise dei trombettisti su un carro pianale con l'ordine di tenere una nota sola, e altri musicisti a bordo strada a scrivere quale nota sentivano. Niente strumenti di misura: orecchie allenate.
| calcolo | nota vera | scarto | semitoni |
|---|
Un sol a 392 Hz, treno a circa 70 km/h, aria di giugno a 15 gradi (c = 340,3 m/s con la Formula 5). Gli scarti sono sotto la soglia dell'orecchio: quello che i musicisti scrissero, un sol diesis e un fa diesis, è esattamente quello che dà la formula.
5Provalo col corpo
Con la voce. Canta una nota. Poi cantala tre tasti di pianoforte più su, quelli neri compresi: da un do a un mi bemolle. Quel salto lì, anzi un pochino meno, è tutto quello che fa l'ambulanza a cento all'ora. Se la nota di partenza fosse 800 Hz, quella di arrivo sarebbe hertz.
Col tempo. Fallo in un terzo di secondo. Fra un battito del tuo cuore a riposo e il successivo passa circa un secondo: la picchiata ne occupa poco più di un terzo.
Con le mani. Tienile aperte a 39 centimetri: è lunga così l'onda davanti all'ambulanza. Portale a 46: è lunga così dietro. Quella differenza di sette centimetri, la larghezza del tuo palmo, è tutto lo schiacciamento di cui stiamo parlando.
6La sorpresa
Il salto è molto più piccolo di come lo ricordi. E non è simmetrico.
A cento all'ora l'ambulanza sposta la nota di 2,81 semitoni in tutto: meno di tre tasti di pianoforte. Il «nìii-nòoo» drammatico che hai in testa è per la maggior parte il volume che cresce e cala, non l'altezza che cambia. Qui sopra c'è l'interruttore che toglie il volume e lascia solo la frequenza: quasi nessuno riconosce quello che sente.
Dentro questa sorpresa ce n'è una seconda, più fine. Non sali di metà e scendi di metà: sali di 1,46 semitoni e scendi di 1,35, settanta hertz in su e solo sessanta in giù. E la ragione non è quella che verrebbe da dire. Le due variazioni del denominatore sono identiche in percentuale: togliere 27,778 da 343 lo fa calare dell'8,098%, aggiungerlo lo fa crescere dell'8,098%. L'asimmetria nasce dopo, nella divisione: dividere per un numero più piccolo fa crescere il risultato più di quanto dividere per un numero altrettanto più grande lo faccia calare, +8,81% contro −7,49%. È il genere di dettaglio che si legge solo rifacendo il conto.
E se vuoi il salto epico, quello di un'ottava intera, serve che la sorgente corra a un terzo esatto della velocità del suono: 411,6 chilometri all'ora. È una frazione pura, non dipende da quanto vale c: da (c+v)/(c−v) = 2 esce 3v = c e basta. Nessuna automobile ci arriva. Un aereo di linea sì.
L'ultima è la più elegante, e non riguarda l'orecchio ma la matematica. Quando v arriva a 343 m/s il denominatore diventa zero e la formula dà infinito. Quello zero è la formula che ti sta dicendo, da sola, che oltre quel punto non vale più. Doppler la scrive nel 1842. Ernst Mach fotografa l'onda d'urto di un proiettile supersonico nel 1887. Un aereo ci passa attraverso in volo nel 1947. Il denominatore lo aveva annunciato con centocinque anni di anticipo.
7Che cosa questo modello non dice
Non è un'appendice. È la parte in cui l'esperimento ti dice dove finisce.
Arriva direttamente a info@developcontroller.com.
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